1999 IMO 第 4 题

N4 (FRA) Denote by $S$ the set of all primes $p$ such that the decimal representation of $1 / p$ has its fundamental period divisible by 3 . For every $p \in S$ such that $1 / p$ has its fundamental period $3 r$ one may write $1 / p=$ $0 . a_{1} a_{2} \ldots a_{3 r} a_{1} a_{2} \ldots a_{3 r} \ldots$, where $r=r(p)$; for every $p \in S$ and every integer $k \geq 1$ define $f(k, p)$ by $$f(k, p)=a_{k}+a_{k+r(p)}+a_{k+2 r(p)}$$ (a) Prove that $S$ is infinite. (b) Find the highest value of $f(k, p)$ for $k \geq 1$ and $p \in S$.

N4 (FRA) 用 $S$ 表示所有素数 $p$ 的集合，使得 $1 / p$ 的十进制表示的基本周期可被 3 整除。对于每个 $p \in S$ ，使得 $1 / p$ 具有其基本周期 $3 r$ ，可以写为 $1 / p=$ $0 。 a_{1} a_{2} \ldots a_{3 r} a_{1} a_{2} \ldots a_{3 r} \ldots$，其中$r=r(p)$；对于每个$p \in S$ 和每个整数$k \geq 1$ 定义$f(k, p)$ 为$$f(k, p)=a_{k}+a_{k+r(p)}+a_{k+2 r(p)}$$ (a) 证明$S$ 是无限的。 (b) 找出 $k \geq 1$ 和 $p \in S$ 的 $f(k, p)$ 的最高值。