灯下 登录
番外 · 题谱 · 2003 · P2

2003 IMO 第 2 题

代数 · P2/P5 · 中段题

同年题目 换一题 题谱首页 打开陪读页
题面 IMO · 2003 · P2
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2003/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 2003 P2 algebra

A2 (AUS) Find all nondecreasing functions f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} such that (i) f(0)=0,f(1)=1f(0)=0, f(1)=1; (ii) f(a)+f(b)=f(a)f(b)+f(a+b−ab)f(a)+f(b)=f(a) f(b)+f(a+b-a b) for all real numbers a,ba, b such that a<1<ba<1<b.

A2 (澳大利亚) 找到所有非减函数 f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} 使得 (i) f(0)=0,f(1)=1f(0)=0, f(1)=1; (ii) f(a)+f(b)=f(a)f(b)+f(a+b−ab)f(a)+f(b)=f(a) f(b)+f(a+b-a b) 对于所有实数 a,ba, b，使得 a<1<ba<1<b。

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解或单调性把所有可能排完。

解答 folded
完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2003 年第 2 题归入 algebra：代数结构题：先把变量、方程或多项式关系整理成少数几个不变量，再看对称性、单调性或根的分布。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P2 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。