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番外 · 题谱 · 2005 · P3

2005 IMO 第 3 题

几何 · P3/P6 · 超难题

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题面 IMO · 2005 · P3
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2005/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 2005 P3 geometry

Let x,y,z>0x,y,z > 0 satisfy xyz≥1x y z\geq 1 . Prove that

x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^{5} - x^{2}}{x^{5} + y^{2} + z^{2}} +\frac{y^{5} - y^{2}}{x^{2} + y^{5} + z^{2}} +\frac{z^{5} - z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{5}}\geq 0.

令 x,y,z>0x,y,z > 0 满足 xyz≥1x y z\geq 1 。证明

x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^{5} - x^{2}}{x^{5} + y^{2} + z^{2}} +\frac{y^{5} - y^{2}}{x^{2} + y^{5} + z^{2}} +\frac{z^{5} - z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{5}}\geq 0.

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先标出所有固定量和会变化的点。

提示 2

尝试角追、相似、圆幂、面积比或坐标化中的一种。

提示 3

把关键等式还原成一个标准定理或一个可构造的辅助点。

解答 folded
完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2005 年第 3 题归入 geometry：几何结构题：先画出关键点线圆，寻找相似、角追、幂、面积或仿射变换中最稳定的量。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P3 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。

闲谈 aside
闲谈 aside

这题适合拿来练“先不看解答”的耐心：不要急着套大定理，先把题位、主题和题设中最硬的限制写成一行。1990 年以后的 P3/P6 在闲灯中单列为 extremely-hard，复盘时重点看关键引理从哪里冒出来。