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番外 · 题谱 · 2006 · P1

2006 IMO 第 1 题

数论 · P1/P4 · 起手题

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题面 IMO · 2006 · P1
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2006/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 2006 P1 number-theory

Let ABCA B C be a triangle with incenter II . A point PP in the interior of the triangle satisfies

∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB.\angle P B A + \angle P C A = \angle P B C + \angle P C B.

Show that AP≥AIA P\geq A I and that equality holds if and only if P=IP = I

设 ABCA B C 为中心为 II 的三角形。三角形内部的点PP满足

\角度PBA+\角度PCA=\角度PBC+\角度PCB。\角度 P B A + \角度 P C A = \角度 P B C + \角度 P C B。

证明 AP≥AIA P\geq A I 且等式成立当且仅当 P=IP = I

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先看模小素数、最大公因数或整除链。

提示 2

把整数条件转成同余方程或 p 进指数比较。

提示 3

若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例或下降。

解答 folded
完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2006 年第 1 题归入 number theory：数论结构题：先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值，再用构造或反证把整数条件锁紧。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P1 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。