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番外 · 题谱 · 2006 · P3

2006 IMO 第 3 题

几何 · P3/P6 · 超难题

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题面 IMO · 2006 · P3
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2006/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 2006 P3 geometry

Determine the least real number MM such that the inequality

∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left|a b(a^{2} - b^{2}) + b c(b^{2} - c^{2}) + c a(c^{2} - a^{2})\right|\leq M\left(a^{2} + b^{2} + c^{2}\right)^{2}

holds for all real numbers aa , bb and cc .

确定最小实数 MM 使得不等式

∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left|a b(a^{2} - b^{2}) + b c(b^{2} - c^{2}) + c a(c^{2} - a^{2})\right|\leq M\left(a^{2} + b^{2} + c^{2}\right)^{2}

对于所有实数 aa 、 bb 和 cc 成立。

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先标出所有固定量和会变化的点。

提示 2

尝试角追、相似、圆幂、面积比或坐标化中的一种。

提示 3

把关键等式还原成一个标准定理或一个可构造的辅助点。

解答 folded
完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2006 年第 3 题归入 geometry：几何结构题：先画出关键点线圆，寻找相似、角追、幂、面积或仿射变换中最稳定的量。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P3 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。