2008 IMO 第 1 题

Let $H$ be the orthocenter of an acute-angled triangle $ABC$ . The circle $\Gamma_{A}$ centered at the midpoint of $\overline{BC}$ and passing through $H$ intersects the sideline $BC$ at points $A_{1}$ and $A_{2}$ . Similarly, define the points $B_{1}$ , $B_{2}$ , $C_{1}$ , and $C_{2}$ . Prove that six points $A_{1}$ , $A_{2}$ , $B_{1}$ , $B_{2}$ , $C_{1}$ , $C_{2}$ are concyclic.

设 $H$ 为锐角三角形 $ABC$ 的垂心。以 $\overline{BC}$ 中点为中心并穿过 $H$ 的圆 $\Gamma_{A}$ 与边线 $BC$ 相交于点 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 。同样，定义点 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 。证明六个点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 是同循环的。