2008 IMO 第 2 题

Let $x$ , $y$ , $z$ be real numbers with $xyz = 1$ , all different from 1. Prove that

$$\frac{x^{2}}{(x - 1)^{2}} +\frac{y^{2}}{(y - 1)^{2}} +\frac{z^{2}}{(z - 1)^{2}}\geq 1$$

and show that equality holds for infinitely many choices of rational numbers $x$ , $y$ , $z$ .

设 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 为实数且 $xyz = 1$ ，均不同于 1。证明

$$\frac{x^{2}}{(x - 1)^{2}} +\frac{y^{2}}{(y - 1)^{2}} +\frac{z^{2}}{(z - 1)^{2}}\geq 1$$

并证明等式对于有理数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的无限多种选择成立。