题面 IMO · 2009 · P3
来源 context
题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2009/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。
Suppose that is a strictly increasing sequence of positive integers such that the sub-sequences , , , ...and , , , ...are both arithmetic progressions. Prove that the sequence , , , ...is itself an arithmetic progression.
假设 是一个严格递增的正整数序列，使得子序列 、 、 、...和 、 、 , ...都是算术级数。证明序列 , , , ...本身是一个算术级数。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先标出所有固定量和会变化的点。
提示 2
尝试角追、相似、圆幂、面积比或坐标化中的一种。
提示 3
把关键等式还原成一个标准定理或一个可构造的辅助点。
解答 folded
完整解答
题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2009 年第 3 题归入 geometry：几何结构题：先画出关键点线圆，寻找相似、角追、幂、面积或仿射变换中最稳定的量。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P3 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。