2010 IMO 第 5 题

Each of the six boxes $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ , $B_{4}$ , $B_{5}$ , $B_{6}$ initially contains one coin. The following two types of operations are allowed:

a) Choose a non-empty box $B_{j}$ , $1\leq j\leq 5$ , remove one coin from $B_{j}$ and add two coins to $B_{j + 1}$ ;
b) Choose a non-empty box $B_{k}$ , $1\leq k\leq 4$ , remove one coin from $B_{k}$ and swap the contents (possibly empty) of the boxes $B_{k + 1}$ and $B_{k + 2}$ .

Determine if there exists a finite sequence of operations of the allowed types, such that the five boxes $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ , $B_{4}$ , $B_{5}$ become empty, while box $B_{6}$ contains exactly $2010^{2010^{2010}}$ coins.

六个盒子 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ 、 $B_{4}$ 、 $B_{5}$ 、 $B_{6}$ 中的每一个最初包含一枚硬币。允许以下两种类型的操作：

a) 选择一个非空盒子 $B_{j}$ , $1\leq j\leq 5$ ，从 $B_{j}$ 中取出一枚硬币，并在 $B_{j + 1}$ 中添加两枚硬币；
b) 选择一个非空盒子 $B_{k}$ 、 $1\leq k\leq 4$ ，从 $B_{k}$ 中取出一枚硬币，然后交换盒子 $B_{k + 1}$ 和 $B_{k + 2}$ 中的内容(可能是空的)。

确定是否存在允许类型的有限操作序列，使得五个盒子 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ 、 $B_{4}$ 、 $B_{5}$ 变空，而盒子 $B_{6}$ 恰好包含 $2010^{2010^{2010}}$ 硬币。