题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2013/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。
A configuration of 4027 points in the plane is called Colombian if it consists of 2013 red points and 2014 blue points, and no three of the points of the configuration are collinear. By drawing some lines, the plane is divided into several regions. An arrangement of lines is good for a Colombian configuration if the following two conditions are satisfied:
(i) No line passes through any point of the configuration.
(ii) No region contains points of both colors.
Find the least value of such that for any Colombian configuration of 4027 points, there is a good arrangement of lines.
如果平面上有 4027 个点的配置由 2013 个红点和 2014 个蓝点组成，并且该配置中没有三个点共线，则该配置称为哥伦比亚配置。通过画一些线，平面被分成几个区域。如果满足以下两个条件，则线路排列对于哥伦比亚配置来说是有利的：
(i) 没有直线穿过该结构的任何点。
(ii) 没有区域包含两种颜色的点。
找到 的最小值，使得对于 4027 个点的任何哥伦比亚配置， 线都有良好的排列。
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解或单调性把所有可能排完。
完整解答
题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2013 年第 2 题归入 algebra：代数结构题：先把变量、方程或多项式关系整理成少数几个不变量，再看对称性、单调性或根的分布。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P2 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。