2013 IMO 第 5 题

Suppose a function $f: \mathbb{Q}_{>0}\to \mathbb{R}$ satisfies:

(i) If $x,y\in \mathbb{Q}_{>0}$ , then $f(x)f(y)\geq f(xy)$

(ii) If $x,y\in \mathbb{Q}_{>0}$ , then $f(x + y)\geq f(x) + f(y)$

(iii) There exists a rational number $a > 1$ with $f(a) = a$

Prove that $f(x) = x$ for all positive rational numbers $x$

假设函数 $f: \mathbb{Q}_{>0}\to \mathbb{R}$ 满足：

(i) 如果 $x,y\in \mathbb{Q}_{>0}$ ，则 $f(x)f(y)\geq f(xy)$

(ii) 如果 $x,y\in \mathbb{Q}_{>0}$ ，则 $f(x + y)\geq f(x) + f(y)$

(iii) 存在有理数 $a > 1$ 且 $f(a) = a$

证明对于所有正有理数 $x$，$f(x) = x$