2015 IMO 第 1 题

We say that a finite set $S$ of points in the plane is balanced if, for any two different points $A$ and $B$ in $S$ , there is a point $C$ in $S$ such that $AC = BC$ . We say that $S$ is center-free if for any three different points $A$ , $B$ and $C$ in $S$ , there are no points $P$ in $S$ such that $PA = PB = PC$ .

(a) Show that for all integers $n \geq 3$ , there exists a balanced set consisting of $n$ points.

(b) Determine all integers $n \geq 3$ for which there exists a balanced center-free set consisting of $n$ points.

如果对于 $S$ 中的任意两个不同的点 $A$ 和 $B$，在 $S$ 中存在一个点 $C$ 使得 $AC = BC$ ，则我们说平面上点的有限集 $S$ 是平衡的。如果对于 $S$ 中的任意三个不同的点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ ，$S$ 中不存在使得 $PA = PB = PC$ 的点 $P$ ，我们就说 $S$ 是无中心的。

(a) 证明对于所有整数 $n \geq 3$ ，存在一个由 $n$ 点组成的平衡集。
(b) 确定所有整数 $n \geq 3$ ，其中存在由 $n$ 点组成的平衡无中心集。