2015 IMO 第 4 题

Triangle $ABC$ has circumcircle $\Omega$ and circumcenter $O$ . A circle $\Gamma$ with center $A$ intersects the segment $BC$ at points $D$ and $E$ , such that $B$ , $D$ , $E$ , and $C$ are all different and lie on line $BC$ in this order. Let $F$ and $G$ be the points of intersection of $\Gamma$ and $\Omega$ , such that $A$ , $F$ , $B$ , $C$ , and $G$ lie on $\Omega$ in this order. Let $K = (BDF) \cap \overline{AB} \neq B$ and $L = (CGE) \cap \overline{AC} \neq C$ and assume these points do not lie on line $FG$ . Define $X = \overline{FK} \cap \overline{GL}$ . Prove that $X$ lies on the line $AO$ .

三角形 $ABC$ 有外接圆 $\Omega$ 和外接心 $O$ 。以 $A$ 为中心的圆 $\Gamma$ 与线段 $BC$ 相交于点 $D$ 和 $E$ 处，使得 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 和 $C$ 都不同，并且按此顺序位于直线 $BC$ 上。令 $F$ 和 $G$ 为 $\Gamma$ 和 $\Omega$ 的交点，使得 $A$ 、 $F$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $G$ 依次位于 $\Omega$ 上。令 $K = (BDF) \cap \overline{AB} \neq B$ 和 $L = (CGE) \cap \overline{AC} \neq C$ 并假设这些点不在直线 $FG$ 上。定义 $X = \overline{FK} \cap \overline{GL}$ 。证明 $X$ 位于线 $AO$ 上。