题面 IMO · 2022 · P5
来源 context
题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2022/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。
Find all triples of positive integers with prime and
查找所有 为素数的正整数 三元组，并且
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先猜等号，再看每一项的量纲和同次性。
提示 2
试着归一化，或把式子拆成柯西、均值、凸性可处理的块。
提示 3
最后检查等号条件是否和题设完全兼容。
解答 folded
完整解答
题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2022 年第 5 题归入 inequality：不等式题：先判断等号形状，再选用均值、柯西、凸性、重排或归一化，把表达式压成可控的标准型。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P5 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。
闲谈 aside
闲谈 aside
2022 P5 适合作为不等式训练里的“先猜形状，再选工具”样本。P5 的位置说明它不会只奖励熟练套用模板；更关键的是先看等号、同次性和约束条件，把表达式拆成几个有方向的块。等最后一步回到等号条件时，很多无效尝试会自然被排除。