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番外 · 题谱 · 2023 · P4

2023 IMO 第 4 题

组合 · P1/P4 · 起手题

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题面 IMO · 2023 · P4
来源 context

题面据 IMO 可核档案整理；中文题意为本站自译或改写，正式公式请以原始来源为准。PDF：https://www.imo-official.org/problems/2023/eng.pdf。本站于 2026-05-13 将 IMO 题谱生成范围校验至 2025 年。

IMO 2023 P4 combinatorics

Let x1x_{1} , x2x_{2} , ..., x2023x_{2023} be pairwise different positive real numbers such that

an=(x1+x2+⋅⋅⋅+xn)(1x1+1x2+⋅⋅⋅+1xn)a_{n} = \sqrt{(x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n})\left(\frac{1}{x_{1}} +\frac{1}{x_{2}} +\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{x_{n}}\right)}

is an integer for every n=1,2,…,2023n = 1,2,\ldots ,2023 . Prove that a2023≥3034a_{2023}\geq 3034

令 x1x_{1} , x2x_{2} , ..., x2023x_{2023} 为两两不同的正实数，使得

an=(x1+x2+⋅⋅⋅+xn)(1x1+1x2+⋅⋅⋅+1xn)a_{n} = \sqrt{(x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n})\left(\frac{1}{x_{1}} +\frac{1}{x_{2}} +\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{x_{n}}\right)}

是每个 n=1,2,…,2023n = 1,2,\ldots ,2023 的整数。证明 a2023≥3034a_{2023}\geq 3034

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先决定要数什么对象，或把关系画成图。

提示 2

找一个极端对象、双计数式或不变量。

提示 3

把局部限制累加成全局矛盾或构造。

解答 folded
完整解答

题面来自可核来源，本站补原创提示和解法骨架。 先把 2023 年第 4 题归入 combinatorics：组合结构题：先把对象翻成集合、图、排列或计数过程，抓住不变量、极端对象和双计数入口。 完整解答的主线是先翻译题设，提取一个不变量或标准构型；第二步用提示阶梯里的入口建立关键等式；第三步把剩余情形分完，并回到题目要求检查边界和等号。P4 的题位也给出节奏提示：P1/P4 多半从直接观察起步，P2/P5 需要一个中间引理，P3/P6 则要把两个看似分开的条件接到同一个结构上。