2024 IMO 第 4 题

Let triangle $A B C$ with incenter $I$ satisfying $A B< A C< B C$ . Let $X$ be a point on line $B C$ , different from $C$ , such that the line through $X$ and parallel to $A C$ is tangent to the incircle. Similarly, let $Y$ be a point on line $B C$ , different from $B$ , such that the line through $Y$ and parallel to $A B$ is tangent to the incircle. Line $A I$ intersects the circumcircle of triangle $A B C$ again at $P$ . Let $K$ and $L$ be the midpoints of $A C$ and $A B$ , respectively. Prove that $\angle K I L + \angle Y P X = 180^{\circ}$ .

令三角形 $A B C$ 的中心 $I$ 满足 $A B< A C< B C$ 。令 $X$ 为线 $B C$ 上的一点，与 $C$ 不同，这样通过 $X$ 并平行于 $A C$ 的线与内切圆相切。类似地，令 $Y$ 为线 $B C$ 上的一点，与 $B$ 不同，这样通过 $Y$ 并平行于 $A B$ 的线与内切圆相切。线 $A I$ 再次与三角形 $A B C$ 的外接圆相交于 $P$ 。令 $K$ 和 $L$ 分别为 $A C$ 和 $A B$ 的中点。证明 $\angle K I L + \angle Y P X = 180^{\circ}$ 。