2024 IMO 第 6 题

A function $f: \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ is called aquaesulian if the following property holds: for every $x,y\in \mathbb{Q}$

$$f(x + f(y)) = f(x) + y\quad \mathrm{or}\quad f(f(x) + y) = x + f(y).$$

Show that there exists an integer $c$ such that for any aquaesulian function $f$ there are at most $c$ different rational numbers of the form $f(r) + f(- r)$ for some rational number $r$ , and find the smallest possible value of $c$ .

如果满足以下性质，则函数 $f: \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ 称为 aquaesulian：对于每个 $x,y\in \mathbb{Q}$

$$f(x + f(y)) = f(x) + y\quad \mathrm{或}\quad f(f(x) + y) = x + f(y)。$$

证明存在一个整数 $c$，使得对于任何 aquaesulian 函数 $f$ ，对于某个有理数 $r$ ，至多有 $c$ 个不同的有理数，其形式为 $f(r) + f(- r)$ ，并找到 $c$ 的最小可能值。