2025 IMO 第 1 题

A line in the plane is called sunny if it is not parallel to any of the $x$ -axis, the $y$ -axis, or the line $x + y = 0$ .

Let $n \geq 3$ be a given integer. Determine all nonnegative integers $k$ such that there exist $n$ distinct lines in the plane satisfying both of the following:

- for all positive integers $a$ and $b$ with $a + b \leq n + 1$ , the point $(a, b)$ lies on at least one of the lines; and

- exactly $k$ of the $n$ lines are sunny.

如果平面中的一条线不与 $x$ 轴、$y$ 轴或线 $x + y = 0$ 中的任何一个平行，则该线称为晴线。

设 $n \geq 3$ 为给定整数。确定所有非负整数 $k$，使得平面中存在满足以下两个条件的 $n$ 条不同的线：

- 对于所有正整数 $a$ 和 $b$ 以及 $a + b \leq n + 1$ ，点 $(a, b)$ 至少位于其中一条线上；和

- $n$ 线路中的 $k$ 线路晴朗。