2000 IMO Shortlist S06

Let $p$ and $q$ be relatively prime positive integers. A subset $S$ of $\{0, 1, 2, \ldots \}$ is called **ideal** if $0 \in S$ and for each element $n \in S,$ the integers $n + p$ and $n + q$ belong to $S.$ Determine the number of ideal subsets of $\{0, 1, 2, \ldots \}.$

设$p$和$q$为互素正整数。 $\{0, 1, 2, \ldots \}$ 的子集 $S$ 被称为**理想**，如果 $0 \in S$ 并且对于每个元素 $n \in S，$整数 $n + p$ 和 $n + q$ 属于 $S。$ 确定 $\{0, 1, 2, \ldots \}$ 的理想子集的数量。$