2000 IMO Shortlist S10

For a polynomial $P$ of degree 2000 with distinct real coefficients let $M(P)$ be the set of all polynomials that can be produced from $P$ by permutation of its coefficients. A polynomial $P$ will be called **$n$ -independent** if $P(n) = 0$ and we can get from any $Q \in M(P)$ a polynomial $Q_1$ such that $Q_1(n) = 0$ by interchanging at most one pair of coefficients of $Q.$ Find all integers $n$ for which $n$ -independent polynomials exist.

对于具有不同实数系数的 2000 次多项式 $P$，令 $M(P)$ 为可以通过其系数排列从 $P$ 生成的所有多项式的集合。如果 $P(n) = 0$，多项式 $P$ 将被称为 **$n$ 独立**，并且我们可以从任何 $Q \in M(P)$ 中得到一个多项式 $Q_1$，使得 $Q_1(n) = 0$ 通过交换 $Q 的至多一对系数。$ 找到存在 $n$ 独立多项式的所有整数 $n$。