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番外 · 题谱 · 2001 · P9

2001 IMO Shortlist S09

代数 · P3/P6 · 压轴题

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题面 IMO Shortlist · 2001 · P9
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2001 S09 algebra

Find all finite sequences (x0,x1,…,xn)(x_0, x_1, \ldots,x_n) such that for every jj , 0≤j≤n0 \leq j \leq n , xjx_j equals the number of times jj appears in the sequence.

找到所有有限序列 (x0,x1,…,xn)(x_0, x_1, \ldots,x_n) ，使得对于每个 jj ， 0≤j≤n0 \leq j \leq n ， xjx_j 等于 jj 在序列中出现的次数。

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

解答 folded
完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2001 年 IMO Shortlist S09 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside
闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？