2001 IMO Shortlist S13

Let $ABC$ be a triangle with centroid $G$ . Determine, with proof, the position of the point $P$ in the plane of $ABC$ such that $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ is a minimum, and express this minimum value in terms of the side lengths of $ABC$ .

令 $ABC$ 为一个具有质心 $G$ 的三角形。通过证明，确定点 $P$ 在 $ABC$ 平面中的位置，使得 $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ 为最小值，并用 $ABC$ 的边长表示该最小值。