2001 IMO Shortlist S15

Let $ABC$ be an acute triangle. Let $DAC,EAB$ , and $FBC$ be isosceles triangles exterior to $ABC$ , with $DA=DC, EA=EB$ , and $FB=FC$ , such that

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\angle ADC = 2\angle BAC, \quad \angle BEA= 2 \angle ABC, \quad

\angle CFB = 2 \angle ACB.

$$

Let $D'$ be the intersection of lines $DB$ and $EF$ , let $E'$ be the intersection of $EC$ and $DF$ , and let $F'$ be the intersection of $FA$ and $DE$ . Find, with proof, the value of the sum

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\frac{DB}{DD'}+\frac{EC}{EE'}+\frac{FA}{FF'}.

$$

设 $ABC$ 为锐角三角形。令 $DAC、EAB$ 和 $FBC$ 为 $ABC$ 外部的等腰三角形，其中 $DA=DC、EA=EB$ 和 $FB=FC$ ，这样

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\angle ADC = 2\angle BAC, \quad \angle BEA= 2 \angle ABC, \quad

\角度CFB = 2 \角度ACB。

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令 $D'$ 为线 $DB$ 和 $EF$ 的交集，让 $E'$ 为 $EC$ 和 $DF$ 的交集，并让 $F'$ 为 $FA$ 和 $DE$ 的交集。有证据地求总和的值

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\frac{DB}{DD'}+\frac{EC}{EE'}+\frac{FA}{FF'}。

$$