2002 IMO Shortlist S10

Let $m,n\geq2$ be positive integers, and let $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ be integers, none of which is a multiple of $m^{n-1}$ . Show that there exist integers $e_1,e_2,\ldots,e_n$ , not all zero, with $\left|{\,e}_i\,\right|<m$ for all $i$ , such that $e_1a_1+e_2a_2+\,\ldots\,+e_na_n$ is a multiple of $m^n$ .

令 $m,n\geq2$ 为正整数，并令 $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ 为整数，其中没有一个是 $m^{n-1}$ 的倍数。证明存在整数 $e_1,e_2,\ldots,e_n$ ，且不全为零，并且 $\left|{\,e}_i\,\right|<m$ 对于所有 $i$ ，使得 $e_1a_1+e_2a_2+\,\ldots\,+e_na_n$ 是 $m^n$ 的倍数。