2002 IMO Shortlist S12

Let $a_1,a_2,\ldots$ be an infinite sequence of real numbers, for which there exists a real number $c$ with $0\leq a_i\leq c$ for all $i$ , such that $$\left\lvert a_i-a_j \right\rvert\geq \frac{1}{i+j} \quad \text{for all }i,\ j \text{ with } i \neq j.$$ Prove that $c\geq1$ .

令 $a_1,a_2,\ldots$ 为无限实数序列，其中对于所有 $i$ 存在一个实数 $c$，其中 $0\leq a_i\leq c$ ，使得 $$\left\lvert a_i-a_j \right\rvert\geq \frac{1}{i+j} \quad \text{对于所有 }i,\ j \text{ 且 } i \neq j。$$ 证明 $c\geq1$ 。