题面 IMO Shortlist · 2002 · P19
来源 context
题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
Let be a fixed positive integer, and let be an infinite family of sets, each of size , no two of which are disjoint. Prove that there exists a set of size that meets each set in .
令 为固定正整数，并令 为无限族集合，每个集合的大小为 ，其中没有两个不相交。证明存在一个大小为 的集合，满足 中的每个集合。
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2002 年 IMO Shortlist S19 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？