2003 IMO Shortlist S10

Let $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ and $A_4$ be four circles such that the circles $A_1$ and $A_3$ are tangent at a point $P$ , and the circles $A_2$ and $A_4$ are also tangent at the same point $P$ . Suppose that the circles $A_1$ and $A_2$ meet at a point $T_1$ , the circles $A_2$ and $A_3$ meet at a point $T_2$ , the circles $A_3$ and $A_4$ meet at a point $T_3$ , and the circles $A_4$ and $A_1$ meet at a point $T_4$ , such that all these four points $T_1$ , $T_2$ , $T_3$ , $T_4$ are distinct from $P$ .

Prove: $\frac {\overline{T_1T_2}\cdot\overline{T_2T_3}}{\overline{T_1T_4}\cdot\overline{T_3T_4}} = \frac {\overline{PT_2}^2}{\overline{PT_4}^2}$ (where $\overline{ab}$ , of course, means the distance between points $a$ and $b$ ).

设$A_1$、$A_2$、$A_3$和$A_4$为四个圆，使得圆$A_1$和$A_3$在点$P$相切，并且圆$A_2$和$A_4$也在同一点$P$相切。假设圆 $A_1$ 和 $A_2$ 在点 $T_1$ 相交，圆 $A_2$ 和 $A_3$ 在点 $T_2$ 相交，圆 $A_3$ 和 $A_4$ 在点 $T_3$ 相交，圆 $A_4$ 和 $A_1$ 在点 $T_4$ 相交，这样所有这四个点 $T_1$, $T_2$ 、 $T_3$ 、 $T_4$ 与 $P$ 不同。

证明： $\frac {\overline{T_1T_2}\cdot\overline{T_2T_3}}{\overline{T_1T_4}\cdot\overline{T_3T_4}} = \frac {\overline{PT_2}^2}{\overline{PT_4}^2}$ (其中 $\overline{ab}$ 当然表示点 $a$ 和 $b$ 之间的距离)。