2003 IMO Shortlist S11

Let $ABC$ be a triangle and let $P$ be a point in its interior. Denote by $D$ , $E$ , $F$ the feet of the perpendiculars from $P$ to the lines $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectively. Suppose that $$AP^2 + PD^2 = BP^2 + PE^2 = CP^2 + PF^2.$$ Denote by $I_A$ , $I_B$ , $I_C$ the excenters of the triangle $ABC$ . Prove that $P$ is the circumcenter of the triangle $I_AI_BI_C$ .

*Proposed by C.R. Pranesachar, India*

设 $ABC$ 为三角形，$P$ 为其内部的一个点。分别用 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 表示从 $P$ 到线 $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ 的垂线的脚。假设 $$AP^2 + PD^2 = BP^2 + PE^2 = CP^2 + PF^2。$$ 用 $I_A$ 、 $I_B$ 、 $I_C$ 表示三角形 $ABC$ 的外心。证明 $P$ 是三角形 $I_AI_BI_C$ 的外心。

*由印度 C.R. Pranesachar 提议*