2003 IMO Shortlist S15

Let $a_{ij}$ $i=1,2,3$ ; $j=1,2,3$ be real numbers such that $a_{ij}$ is positive for $i=j$ and negative for $i\neq j$ .

Prove the existence of positive real numbers $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ such that the numbers $$a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2}+a_{13}c_{3},\qquad a_{21}c_{1}+a_{22}c_{2}+a_{23}c_{3},\qquad a_{31}c_{1}+a_{32}c_{2}+a_{33}c_{3}$$ are either all negative, all positive, or all zero.

*Proposed by Kiran Kedlaya, USA*

令 $a_{ij}$ $i=1,2,3$ ； $j=1,2,3$ 是实数，使得 $a_{ij}$ 对于 $i=j$ 为正，对于 $i\neq j$ 为负。

证明正实数 $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 、 $c_{3}$ 的存在，使得数 $$a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2}+a_{13}c_{3},\qquad a_{21}c_{1}+a_{22}c_{2}+a_{23}c_{3},\qquad a_{31}c_{1}+a_{32}c_{2}+a_{33}c_{3}$$ 要么全部为负，要么全部为正，要么全部为零。

*由美国 Kiran Kedlaya 提出*