2003 IMO Shortlist S17

Each positive integer $a$ undergoes the following procedure in order to obtain the number $d = d\left(a\right)$ :

(i) move the last digit of $a$ to the first position to obtain the numb er $b$ ;
(ii) square $b$ to obtain the number $c$ ;
(iii) move the first digit of $c$ to the end to obtain the number $d$ .

(All the numbers in the problem are considered to be represented in base $10$ .) For example, for $a=2003$ , we get $b=3200$ , $c=10240000$ , and $d = 02400001 = 2400001 = d(2003)$ .)

Find all numbers $a$ for which $d\left( a\right) =a^2$ .

*Proposed by Zoran Sunic, USA*

每个正整数 $a$ 经过以下过程以获得数字 $d = d\left(a\right)$ ：

(i) 将$a$的最后一位移至第一个位置，得到数字$b$；
(ii) 平方 $b$ 以获得数字 $c$ ；
(iii) 将 $c$ 的第一位数字移至末尾以获得数字 $d$ 。

(问题中的所有数字都被认为以 $10$ 为基数表示。)例如，对于 $a=2003$ ，我们得到 $b=3200$ 、 $c=10240000$ 和 $d = 02400001 = 2400001 = d(2003)$ 。)

查找满足 $d\left( a\right) =a^2$ 的所有数字 $a$ 。

*由美国 Zoran Sunic 提出*