2003 IMO Shortlist S18

Three distinct points $A$ , $B$ , and $C$ are fixed on a line in this order. Let $\Gamma$ be a circle passing through $A$ and $C$ whose center does not lie on the line $AC$ . Denote by $P$ the intersection of the tangents to $\Gamma$ at $A$ and $C$ . Suppose $\Gamma$ meets the segment $PB$ at $Q$ . Prove that the intersection of the bisector of $\angle AQC$ and the line $AC$ does not depend on the choice of $\Gamma$ .

三个不同的点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 按此顺序固定在一条线上。令 $\Gamma$ 为穿过 $A$ 和 $C$ 的圆，其中心不在直线 $AC$ 上。 $P$ 表示 $\Gamma$ 在 $A$ 和 $C$ 处的切线交点。假设 $\Gamma$ 在 $Q$ 处与线段 $PB$ 相交。证明 $\angle AQC$ 的平分线与线 $AC$ 的交点不依赖于 $\Gamma$ 的选择。