2004 IMO Shortlist S04

Let $\Gamma$ be a circle and let $d$ be a line such that $\Gamma$ and $d$ have no common points. Further, let $AB$ be a diameter of the circle $\Gamma$ ; assume that this diameter $AB$ is perpendicular to the line $d$ , and the point $B$ is nearer to the line $d$ than the point $A$ . Let $C$ be an arbitrary point on the circle $\Gamma$ , different from the points $A$ and $B$ . Let $D$ be the point of intersection of the lines $AC$ and $d$ . One of the two tangents from the point $D$ to the circle $\Gamma$ touches this circle $\Gamma$ at a point $E$ ; hereby, we assume that the points $B$ and $E$ lie in the same halfplane with respect to the line $AC$ . Denote by $F$ the point of intersection of the lines $BE$ and $d$ . Let the line $AF$ intersect the circle $\Gamma$ at a point $G$ , different from $A$ .

Prove that the reflection of the point $G$ in the line $AB$ lies on the line $CF$ .

设$\Gamma$为圆，$d$为直线，使得$\Gamma$和$d$没有公共点。进一步，令 $AB$ 为圆 $\Gamma$ 的直径；假设该直径 $AB$ 垂直于线 $d$ ，并且点 $B$ 比点 $A$ 更靠近线 $d$ 。令 $C$ 为圆 $\Gamma$ 上的任意点，与点 $A$ 和 $B$ 不同。令 $D$ 为线 $AC$ 和 $d$ 的交点。从点 $D$ 到圆 $\Gamma$ 的两条切线之一在点 $E$ 处与圆 $\Gamma$ 相切；因此，我们假设点 $B$ 和 $E$ 相对于线 $AC$ 位于同一半平面上。用 $F$ 表示线 $BE$ 和 $d$ 的交点。让线 $AF$ 与圆 $\Gamma$ 相交于点 $G$ ，与 $A$ 不同。

证明点 $G$ 在线 $AB$ 中的反射位于线 $CF$ 上。