2005 IMO Shortlist S10

Let $ABC$ be a triangle, and $M$ the midpoint of its side $BC$ . Let $\gamma$ be the incircle of triangle $ABC$ . The median $AM$ of triangle $ABC$ intersects the incircle $\gamma$ at two points $K$ and $L$ . Let the lines passing through $K$ and $L$ , parallel to $BC$ , intersect the incircle $\gamma$ again in two points $X$ and $Y$ . Let the lines $AX$ and $AY$ intersect $BC$ again at the points $P$ and $Q$ . Prove that $BP = CQ$ .

设 $ABC$ 为三角形，$M$ 为其边 $BC$ 的中点。设 $\gamma$ 为三角形 $ABC$ 的内切圆。三角形 $ABC$ 的中线 $AM$ 与内切圆 $\gamma$ 相交于两点 $K$ 和 $L$ 。让穿过 $K$ 和 $L$ 的线与 $BC$ 平行，再次与内切圆 $\gamma$ 相交于两个点 $X$ 和 $Y$ 。让线 $AX$ 和 $AY$ 再次与 $BC$ 相交于点 $P$ 和 $Q$ 处。证明 $BP = CQ$ 。