题面 IMO Shortlist · 2005 · P14
来源 context
题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
Find all positive integers such that there exists a unique integer such that with the following property:
*Proposed by Carlos Caicedo, Colombia*
查找所有正整数 ，使得存在唯一整数 ，使得 具有以下属性：
$$ n!\mid a^n + 1
$$
*由哥伦比亚 Carlos Caicedo 提议*
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2005 年 IMO Shortlist S14 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？