2005 IMO Shortlist S15

Suppose that $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ are integers such that $n\mid a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ .
Prove that there exist two permutations $\left(b_1,b_2,\ldots,b_n\right)$ and $\left(c_1,c_2,\ldots,c_n\right)$ of $\left(1,2,\ldots,n\right)$ such that for each integer $i$ with $1\leq i\leq n$ , we have
$$n\mid a_i - b_i - c_i$$

*Proposed by Ricky Liu & Zuming Feng, USA*

假设 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $\ldots$ 、 $a_n$ 是整数，使得 $n\mid a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ 。

证明 $\left(1,2,\ldots,n\right)$ 存在两个排列 $\left(b_1,b_2,\ldots,b_n\right)$ 和 $\left(c_1,c_2,\ldots,c_n\right)$ ，这样对于每个整数 $i$ 和 $1\leq i\leq n$ ，我们有

$$ n\mid a_i - b_i - c_i

$$

*由美国 Ricky Liu 和 Zuming Feng 提出*