2005 IMO Shortlist S21

In an acute triangle $ABC$ , let $D$ , $E$ , $F$ be the feet of the perpendiculars from the points $A$ , $B$ , $C$ to the lines $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectively, and let $P$ , $Q$ , $R$ be the feet of the perpendiculars from the points $A$ , $B$ , $C$ to the lines $EF$ , $FD$ , $DE$ , respectively.

Prove that $p\left(ABC\right)p\left(PQR\right) \ge \left(p\left(DEF\right)\right)^{2}$ , where $p\left(T\right)$ denotes the perimeter of triangle $T$ .

*Proposed by Hojoo Lee, Korea*

在锐角三角形 $ABC$ 中，设 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 到线 $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ 的垂线的脚，并设 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 为从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 到线 $EF$ 、 $FD$ 的垂线的脚，分别为 $DE$ 。

证明 $p\left(ABC\right)p\left(PQR\right) \ge \left(p\left(DEF\right)\right)^{2}$ ，其中 $p\left(T\right)$ 表示三角形 $T$ 的周长。

*由韩国 Hojoo Lee 提出*