2006 IMO Shortlist C5

An $(n, k)$-tournament is a contest with $n$ players held in $k$ rounds such that: (i) Each player plays in each round, and every two players meet at most once. (ii) If player $A$ meets player $B$ in round $i$, player $C$ meets player $D$ in round $i$, and player $A$ meets player $C$ in round $j$, then player $B$ meets player $D$ in round $j$. Determine all pairs $(n, k)$ for which there exists an $(n, k)$-tournament. (Argentina)

$(n, k)$ 锦标赛是由 $n$ 玩家参加的比赛，分 $k$ 轮进行，其中： (i) 每个玩家参加每一轮比赛，并且每两名玩家最多相遇一次。 (ii) 如果玩家 $A$ 在 $i$ 轮中遇到玩家 $B$，玩家 $C$ 在 $i$ 轮中遇到玩家 $D$，并且玩家 $A$ 在 $j$ 轮中遇到玩家 $C$，则玩家 $B$ 在 $j$ 轮中遇到玩家 $D$。确定存在 $(n, k)$ 锦标赛的所有对 $(n, k)$。 (阿根廷)