题面 IMO Shortlist · 2006 · P23
来源 context
题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
To each side of a convex polygon we assign the maximum area of a triangle contained in the polygon and having as one of its sides. Show that the sum of the areas assigned to all sides of the polygon is not less than twice the area of the polygon. (Serbia)
对于凸多边形的每条边 ，我们分配多边形中包含的三角形的最大面积，并将 作为其一条边。证明分配给多边形所有边的面积之和不小于多边形面积的两倍。 (塞尔维亚)
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提示 1
先标出固定点、动点、角、圆和长度关系。
提示 2
尝试角追、相似、圆幂、面积比、反演或坐标化中的一种。
提示 3
把关键等式还原成标准定理，或补出一个让结构闭合的辅助点。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2006 年 IMO Shortlist G10 可先归入几何：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？