2006 IMO Shortlist G4

A point $D$ is chosen on the side $A C$ of a triangle $A B C$ with $\angle C<\angle A<90^{\circ}$ in such a way that $B D=B A$. The incircle of $A B C$ is tangent to $A B$ and $A C$ at points $K$ and $L$, respectively. Let $J$ be the incentre of triangle $B C D$. Prove that the line $K L$ intersects the line segment $A J$ at its midpoint. (Russia)

在三角形 $A B C$ 的边 $A C$ 上选择一个点 $D$，且 $\angle C<\angle A<90^{\circ}$ 使得 $B D=B A$。 $A B C$ 的内切圆分别在点 $K$ 和 $L$ 处与 $A B$ 和 $A C$ 相切。令 $J$ 为三角形 $B C D$ 的心。证明直线 $K L$ 与线段 $A J$ 相交于中点。 (俄罗斯)