题面 IMO Shortlist · 2007 · P9
来源 context
题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
A unit square is dissected into rectangles such that their sides are parallel to the sides of the square. Any line, parallel to a side of the square and intersecting its interior, also intersects the interior of some rectangle. Prove that in this dissection, there exists a rectangle having no point on the boundary of the square. (Japan)
一个单位正方形被分割成 个矩形，使得它们的边与正方形的边平行。任何平行于正方形的一条边并与其内部相交的线，也与某个矩形的内部相交。证明在这个解剖中，存在一个在正方形边界上没有点的矩形。 (日本)
提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1
先决定对象是什么：集合、图、排列、颜色、路径，还是一次操作后的状态。
提示 2
找一个极端对象、双计数式、不变量，或把限制转成图上的局部条件。
提示 3
把局部限制累加成全局矛盾，或给出覆盖全部情形的构造。
解答 folded
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2007 年 IMO Shortlist C2 可先归入组合：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？