题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
In a mathematical competition some competitors are friends; friendship is always mutual. Call a group of competitors a clique if each two of them are friends. The number of members in a clique is called its size. It is known that the largest size of cliques is even. Prove that the competitors can be arranged in two rooms such that the largest size of cliques in one room is the same as the largest size of cliques in the other room. (Russia)
在数学竞赛中，有些选手是朋友，有些选手是朋友。友谊永远是相互的。如果一组竞争者中的每两个都是朋友，则将他们称为派系。派系中的成员数量称为派系规模。众所周知，派系的最大规模是均匀的。证明参赛者可以安排在两个房间中，使得一个房间中的最大派系大小与另一个房间中的最大派系大小相同。 (俄罗斯)
提示 1
先决定对象是什么：集合、图、排列、颜色、路径，还是一次操作后的状态。
提示 2
找一个极端对象、双计数式、不变量，或把限制转成图上的局部条件。
提示 3
把局部限制累加成全局矛盾，或给出覆盖全部情形的构造。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2007 年 IMO Shortlist C6 可先归入组合：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？