2008 IMO Shortlist A3

Let $S \subseteq \mathbb{R}$ be a set of real numbers. We say that a pair $(f, g)$ of functions from $S$ into $S$ is a Spanish Couple on $S$, if they satisfy the following conditions: (i) Both functions are strictly increasing, i.e. $f(x)<f(y)$ and $g(x)<g(y)$ for all $x, y \in S$ with $x<y$; (ii) The inequality $f(g(g(x)))<g(f(x))$ holds for all $x \in S$. Decide whether there exists a Spanish Couple (a) on the set $S=\mathbb{N}$ of positive integers; (b) on the set $S=\{a-1 / b: a, b \in \mathbb{N}\}$.

令 $S \subseteq \mathbb{R}$ 为一组实数。我们说，从 $S$ 到 $S$ 的一对函数 $(f, g)$ 是 $S$ 上的西班牙对，如果它们满足以下条件： (i) 两个函数都是严格递增的，即对于所有 $x, y \in S$ 且 $x<y$，$f(x)<f(y)$ 和 $g(x)<g(y)$； (ii) 不等式 $f(g(g(x)))<g(f(x))$ 对于 S$中的所有$x 成立。判断正整数集合 $S=\mathbb{N}$ 上是否存在西班牙对 (a)； (b) 在集合 $S=\{a-1 / b: a, b \in \mathbb{N}\}$ 上。