2008 IMO Shortlist G2

Given trapezoid $A B C D$ with parallel sides $A B$ and $C D$, assume that there exist points $E$ on line $B C$ outside segment $B C$, and $F$ inside segment $A D$, such that $\angle D A E=\angle C B F$. Denote by $I$ the point of intersection of $C D$ and $E F$, and by $J$ the point of intersection of $A B$ and $E F$. Let $K$ be the midpoint of segment $E F$; assume it does not lie on line $A B$. Prove that $I$ belongs to the circumcircle of $A B K$ if and only if $K$ belongs to the circumcircle of $C D J$.

给定梯形 $A B C D$，其边 $A B$ 和 $C D$ 平行，假设在线段 $B C$ 外部存在点 $E$，在线段 $A D$ 内部存在点 $F$，使得 $\angle D A E=\angle C B F$。 $I$ 表示$C D$ 和$E F$ 的交点，$J$ 表示$A B$ 和$E F$ 的交点。设$K$为线段$E F$的中点；假设它不在 $A B$ 线上。证明$I$ 属于$A B K$ 的外接圆当且仅当$K$ 属于$C D J$ 的外接圆。