2008 IMO Shortlist G4

In an acute triangle $A B C$ segments $B E$ and $C F$ are altitudes. Two circles passing through the points $A$ and $F$ are tangent to the line $B C$ at the points $P$ and $Q$ so that $B$ lies between $C$ and $Q$. Prove that the lines $P E$ and $Q F$ intersect on the circumcircle of triangle $A E F$.

在锐角三角形 $A B C$ 中，线段 $B E$ 和 $C F$ 是高度。通过点 $A$ 和 $F$ 的两个圆在点 $P$ 和 $Q$ 处与线 $B C$ 相切，因此 $B$ 位于 $C$ 和 $Q$ 之间。证明直线 $P E$ 和 $Q F$ 相交于三角形 $A E F$ 的外接圆上。