2008 IMO Shortlist G5

Let $k$ and $n$ be integers with $0 \leq k \leq n-2$. Consider a set $L$ of $n$ lines in the plane such that no two of them are parallel and no three have a common point. Denote by $I$ the set of intersection points of lines in $L$. Let $O$ be a point in the plane not lying on any line of $L$. A point $X \in I$ is colored red if the open line segment $O X$ intersects at most $k$ lines in $L$. Prove that $I$ contains at least $\frac{1}{2}(k+1)(k+2)$ red points.

令$k$ 和$n$ 为$0 \leq k \leq n-2$ 的整数。考虑平面上 $n$ 条线的 $L$ 组，其中没有两条线平行，也没有三条线有公共点。 $I$ 表示$L$ 中直线的交点集合。令 $O$ 为平面上不位于 $L$ 任何直线上的点。如果开放线段 $O X$ 与 $L$ 中的最多 $k$ 条线相交，则 I$中的点$X \in 被着色为红色。证明 $I$ 至少包含 $\frac{1}{2}(k+1)(k+2)$ 红点。