2008 IMO Shortlist N5

For every $n \in \mathbb{N}$ let $d(n)$ denote the number of (positive) divisors of $n$. Find all functions $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ with the following properties: (i) $d(f(x))=x$ for all $x \in \mathbb{N}$; (ii) $f(x y)$ divides $(x-1) y^{x y-1} f(x)$ for all $x, y \in \mathbb{N}$.

对于每个$n \in \mathbb{N}$，令$d(n)$ 表示$n$ 的(正)因数数。查找所有具有以下属性的函数 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$： (i) $d(f(x))=x$ 对于所有 $x \in \mathbb{N}$； (ii) 对于所有 $x, y \in \mathbb{N}$，$f(x y)$ 除以 $(x-1) y^{x y-1} f(x)$。