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番外 · 题谱 · 2010 · P4

2010 IMO Shortlist A4

代数 · P1/P4 · 起手题

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题面 IMO Shortlist · 2010 · P4
来源 context

题面据 IMO Shortlist 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

IMO Shortlist 2010 A4 algebra

A sequence x1,x2,…x_{1}, x_{2}, \ldots is defined by x1=1x_{1}=1 and x2k=−xk,x2k−1=(−1)k+1xkx_{2 k}=-x_{k}, x_{2 k-1}=(-1)^{k+1} x_{k} for all k≥1k \geq 1. Prove that x1+x2+⋯+xn≥0x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geq 0 for all n≥1n \geq 1. (Austria)

对于所有 k≥1k \geq 1，序列 x1,x2,…x_{1}, x_{2}, \ldots 由 x1=1x_{1}=1 和 x2k=−xk,x2k−1=(−1)k+1xkx_{2 k}=-x_{k}, x_{2 k-1}=(-1)^{k+1} x_{k} 定义。证明 x1+x2+⋯+xn≥0x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geq 0 对于所有 n≥1n \geq 1。 (奥地利)

提示阶梯 已展开 0/3 档
提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

解答 folded
完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2010 年 IMO Shortlist A4 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside
闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？