2010 IMO Shortlist G4

Let $I$ be the incenter of a triangle $A B C$ and $\Gamma$ be its circumcircle. Let the line $A I$ intersect $\Gamma$ at a point $D \neq A$. Let $F$ and $E$ be points on side $B C$ and $\operatorname{arc} B D C$ respectively such that $\angle B A F=\angle C A E<\frac{1}{2} \angle B A C$. Finally, let $G$ be the midpoint of the segment $I F$. Prove that the lines $D G$ and $E I$ intersect on $\Gamma$. (Hong Kong)

令 $I$ 为三角形 $A B C$ 的内心，$\Gamma$ 为其外接圆。让线 $A I$ 与 $\Gamma$ 相交于点 $D \neq A$。设$F$和$E$分别为边$B C$和$\operatorname{arc} B D C$上的点，使得$\angle B A F=\angle C A E<\frac{1}{2} \angle B A C$。最后，令 $G$ 为线段 $I F$ 的中点。证明线 $D G$ 和 $E I$ 相交于 $\Gamma$。 (香港)