2010 IMO Shortlist N4

Let $a, b$ be integers, and let $P(x)=a x^{3}+b x$. For any positive integer $n$ we say that the pair $(a, b)$ is $n$-good if $n \mid P(m)-P(k)$ implies $n \mid m-k$ for all integers $m, k$. We say that $(a, b)$ is very good if $(a, b)$ is $n$-good for infinitely many positive integers $n$. (a) Find a pair $(a, b)$ which is 51 -good, but not very good. (b) Show that all 2010-good pairs are very good. (Turkey)

令$a、b$为整数，并令$P(x)=a x^{3}+b x$。对于任何正整数 $n$，如果 $n \mid P(m)-P(k)$ 对于所有整数 $m, k$ 意味着 $n \mid m-k$，则该对 $(a, b)$ 是 $n$-good。如果$(a, b)$ 是$n$，我们就说$(a, b)$ 非常好——对于无穷多个正整数$n$ 来说是好。 (a) 找到一对 $(a, b)$，其值为 51 -好，但不是很好。 (b) 证明所有 2010 年的好配对都非常好。 (火鸡)