2011 IMO Shortlist G5

Let $A B C$ be a triangle with incenter $I$ and circumcircle $\omega$. Let $D$ and $E$ be the second intersection points of $\omega$ with the lines $A I$ and $B I$, respectively. The chord $D E$ meets $A C$ at a point $F$, and $B C$ at a point $G$. Let $P$ be the intersection point of the line through $F$ parallel to $A D$ and the line through $G$ parallel to $B E$. Suppose that the tangents to $\omega$ at $A$ and at $B$ meet at a point $K$. Prove that the three lines $A E, B D$, and $K P$ are either parallel or concurrent.

设$A B C$ 是一个三角形，其内心为$I$，外接圆为$\omega$。令 $D$ 和 $E$ 分别为 $\omega$ 与线 $A I$ 和 $B I$ 的第二个交点。和弦 $D E$ 在点 $F$ 处与 $A C$ 相交，在点 $G$ 处与 $B C$ 相交。令 $P$ 为通过 $F$ 平行于 $A D$ 的直线与通过 $G$ 平行于 $B E$ 的直线的交点。假设 $\omega$ 在 $A$ 和 $B$ 处的切线在点 $K$ 处相交。证明三条线 $A E、B D$ 和 $K P$ 是平行的或并发的。